Números Inteiros:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros

Resolva as seguintes equações sendo U = Q:

1) 4m – 1 = 7

2) 3m – 9 = 11

3) 3x + 2 = 4x + 9

4) 5m – 2 + 12 = 6m + 4

5) 2b – 6 = 15

6) 2m – 4 + 12 = 3m – 4 + 2

7) 4m – 7 = 2m – 8

8) 6m – 4 = 12 – 9m

9) m + 4 – 3m = 4 +12 m

10) 3 + 4m – 9 = 6m – 4 + 12

11) –5 + 3x = 4 – 12 + 9x

12) 3x + 5 - 2 = 2x + 12

13) 3( x + 2)= 15

14) –2 ( -m + 2) = 3 ( 2m + 1)

15) 12m + 3 (m – 1) = -2(m +1) + 12

16) 2 ( x-1) = 0

17) –3 (m +2) = 1

18) 2 ( x + 2 ) = 12

19) m = -3 ( m – 4 )

20) 2 ( m + 5 ) = -3 ( m – 5 )

21) –2 ( y + 4 ) = -7+ 9 ( y – 1)

22) 5 ( x – 4) = -4 + 9 ( x – 1)

23) –5 ( x – 4 ) + 4 = 2 ( - 2 x – 2 ) + 9

24) -2 ( m – 5 ) + 3m = - ( m + 2 ) – 7

25) - ( x + 5) – 6 = -9 ( x – 3 ) – 2

26) x - 7 + 2 ( x – 4 ) = -3 ( x + 2 ) – 8

O significado de uma fração

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

FRAÇÕES SIMPLIFICADAS

Para simplificar uma fração, dividimos ambos os termos da fração por um mesmo número natural. Uma fração que não pode ser simplificada, é chamada de fração irredutível.

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador.

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Potenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

· Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

· Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

· Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

· Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

· Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

· Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

· Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

· Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

· Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

· Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

· Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

· Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

· Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

· não é par, portanto não é divisível por 2;

· 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

· por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

· não é par, portanto não é divisível por 2;

· 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

· por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

· por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2³ x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

· Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 3² x 5 x 7.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3

· CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 2² x 3²
90 = 2 x 3² x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3² = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

· CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

· NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.

Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

· PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3
18 = 2 x 3²
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.

PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

· A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

· O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

· Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

· Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro	Fator de Multiplicação
10%	1,10
15%	1,15
20%	1,20
47%	1,47
67%	1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto	Fator de Multiplicação
10%	0,90
25%	0,75
34%	0,66
60%	0,40
90%	0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Equações

Resolva as seguintes equações sendo U = Q:

1) 4m – 1 = 7

2) 3m – 9 = 11

3) 3x + 2 + 4x + 9

4) 5m – 2 + 12 = 6m + 4

5) 2b – 6 = 15

6) 2m – 4 + 12 = 3m – 4 + 2

7) 4m – 7 = 2m – 8

8) 6m – 4 = 12 – 9m

9) m + 4 – 3m = 4 +12 m

10) 3 + 4m – 9 = 6m – 4 + 12

11) –5 + 3x + 4 – 12 + 9x

12) 3x + 5 - 2 = 2x + 12

13) 3( x + 2}= 15

14) –2m ( -m + 2) = 3 ( 2m + 1)

15) 12m + 3 (m – 1) = -2(m +1) + 12

16) 2 ( x-1) = 0

17) –3 (m +2) = 1

18) 2 ( x + 2 ) = 12

19) m = -3 ( m – 4 )

20) 2 ( m + 5 ) = -3 ( m – 5 )

21) –2 ( y + 4 ) = -7+ 9 ( y – 1)

22) 5 ( x – 4) = -4 + 9 ( x – 1)

23) –5 ( x – 4 ) + 4 = 2 ( - 2 x – 2 ) + 9

24) -2 ( m – 5 ) + 3m = - ( m + 2 ) – 7

25) - ( x + 5) – 6 = -9 ( x – 3 ) – 2

26) x - 7 + 2 ( x – 4 ) = -3 ( x + 2 ) – 8

M.D.C.

Proporcionalidade:

Números Diretamente e Inversamente Proporcionais

1. Divida 24 em três partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3.

2. Divida 45 em partes diretamente proporcionais a 5 e 10.

3. Reparta 28 em duas pares diretamente proporcionais a 1/2 e 3.

4. Divida 450 em partes diretamente proporcionais a 5, 8 e 12.

5. Divida 102 em partes inversamente proporcionais a 6, 8 e 20.

6. Divida 112 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 9.

7. Divida 780 reais em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3 e 1/4.

8. Reparta 28 moedas entre dois amigos, de modo que as partes recebidas sejam diretamente proporcionais a 5 e 9.

9. Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 6. Tendo a primeira recebido 600 reais, quais são as partes das outras duas?

10. Divida 36 balas entre duas crianças de 4 e 5 anos, de modo que o número de balas que receberá cada criança seja diretamente proporcional à sua idade. Quantas balas receberá cada criança?

11. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 9 e 12.

12. Repartir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.

13. Decompor 1090 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 4/5 e 7/8.

14. Dividir 380 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4.

15. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.

16. Repartir 108 em partes diretamente proporcionais a 1/2 e 3/4, e, inversamente proporcionais a 5 e 6.

17. Se x + y = 60 e x e y são diretamente proporcionais a 5 e 3, determine o valor de x e y.

18. Três amigos formaram uma sociedade. O primeiro entrou com 60.000 reais, o segundo, com 75.000 reais e o terceiro, com 45.000. No balanço anual houve um lucro de 30.000 reais. Quanto coube do lucro para cada sócio?

19. Repartir uma herança de 460.000 reais entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas são 24, 32 e 45 anos.

20. Uma herança de 2.400.000 deve ser repartida ente três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. Quanto caberá ao mais velho?

RESPOSTAS

1) 4,8 e 12

2) 15 e 30

3) 4 e 24

4) 90, 144 e 216

5) 18, 24 e 60

6) 360, 240 e 180

7) 10 e 18

8) 16, 24 e 72

9) 750 e 900

10) 16 e 20

11) 9 e 12

12) 180, 144 e 120

13) 420, 350 e 330

14) 60, 150 e 350

15) 320, 40 e 20

16) 48 e 60

17) x=100 e y=60

18) 10.000; 12.500 e 7500

19) 120.000; 180.000 e 160.000

20) 1.152.000

Proporção

1. Sabendo-se que x + y + z = 18 e que, x/2 = y/3 = z/4, calcule x.

2. Três números são proporcionais a 1, 3 e 5. Calcule sua soma, sabendo-se que o seu produto é igual a 960.

3. Humberto, Aline e Junior possuem uma livraria cujo o investimento foi de 9 mil reais. Humberto entrou com 2 mil reais, Aline com 3 mil reais e Nilson com 4 mil reais. O lucro da livraria é dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um deles. O lucro do mês de maio foi de 1800 reais, calcule quanto cada um vai receber neste mês.

4. Nilson vai dividir 360 mil reais entre seus três filhos, proporcionalmente ao número de membro da família de cada um deles. O primeiro tem esposa e 3 filhos, o segundo tem 2 filhos e é viúvo e o terceiro tem esposa e 2 filhos. Quanto cada filho vai receber?

5. Será distribuído entre dois atletas o patrocínio de 42 mil reais, o melhor classificado receberá sua parte proporcional a 3 e o segundo, a 1. Determine quanto cada um recebeu.

6. Pedro quer dividir uma régua de 42 cm em parte proporcionais a 3, 5 e 6, quanto medirá cada parte.

7. A diretora de uma escola recebeu 372 livros para repartir proporcionalmente entre duas turmas. A 5ª A possui 32 alunos e 5ª B possui 30 alunos. Quantos cadernos cada turma vai receber?

8. Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.

9. Divida 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9.

10. Divida 560 em partes inversamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7.

Regra de três

1. Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias.

2. Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 162,5 kg de farinha?

3. Pedro comprou 2m de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido seriam necessários para que Pedro pudesse fazer 7 calças iguais.

4. Num campeonato, há 48 pessoas e alimento suficiente para um mês. Retirando-se 16 pessoas para quantos dias dará a quantidade de alimento?

5. Cinco pedreiros constróem uma casa em 300 dias. Quantos dias serão necessários para que 10 pedreiros construam essa mesma casa?

6. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais. Quantos dias terá que trabalhar para receber 20 000 reais?

7. Um carro com velocidade constante de 100 km/h, vai da cidade A até a cidade B em 3 horas. Quanto tempo levaria esse mesmo carro para ir de A até B, se sua velocidade constante fosse 160 km/h?

8. O revestimento de um muro de 16 m de comprimento e 2,5 m de altura consome 84 kg de reboco preparado. Quantos quilos de reboco serão necessários para revestir outro muro de 30 m de comprimento e 1,8 m de altura?

9. Mil quilos de ração alimentam 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilos de ração são necessários para alimentar 30 vacas durante 60 dias?

10. Um livro tem 150 páginas. Cada página tem 36 linhas e cada linha, 50 letras. Se quisermos escrever o mesmo texto em 250 páginas, quantas letras haverá em cada linha para que cada página tenha 30 linhas?

11. Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 14 dias trabalhando 10 horas por dias?

12. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras seriam necessárias para encher a mesma piscina em 2 horas?

13. Três operários constróem uma piscina em 10 dias. Quantos dias levarão 10 operários para construírem a mesma piscina?

14. Duas máquinas empacotam 100 litros de leite por dia. Quantas máquinas são necessárias para empacotarem 200 litros de leite em meio dia?

15. Numa laje de concreto de 6 cm de espessura foram gastos 30 sacos de cimento de 40 kg cada. Se a laje tivesse apenas 5 cm de espessura, quanto se gastaria de cimento.

RESPOSTAS

1) 25

2) 250 kg

3) 14m

4) 45 dias

5) 150 dias

6) 40 dias

7) 1h 52 min 30 seg

9) 3000 kg

10) 36 linhas

11) 48 operários

12) 15 torneiras

13) 6 dias

14) 8 máquinas

15) 100 Kg

Operações com números inteiros:

Números relativos inteiros e fracionários: operações e suas propriedades (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação);

1) Calcule:
a) – 1² – 1² =
b) – 1² + 1² =
c) (– 1)² – 1² =
d) 1² + 1² =
e) – 3² – 3² =
f) – 3² + 3² =
g) (– 3)² – 3² =
h) 3² + 3² =

2) Escreva as expressões numéricas que correspondem às sentenças, usando parênteses ou colchetes só quando for necessário, e resolva-as.
1. Adicionei dez negativo ao dobro de cinco positivo.
2. Adicionei quarenta negativo ao dobro de vinte negativo.
3. Achei o dobro da soma de sete negativo com doze positivo.
4. Achei a soma do dobro de cinco negativo com o triplo de dois positivo.
5. Achei a diferença do dobro de sete positivo com o dobro de dez negativo.
6. Achei a metade da diferença de cinco negativo com quinze positivo.
7. Achei a terça parte da soma de vinte negativo com setenta negativo.
8. Achei a terça parte da diferença de vinte negativo com cinqüenta negativo.

Propriedades

Adição:

Fechamento: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z
7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0

Multiplicação:

Fechamento: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z
7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z^-1=1/z em Z, tal que

z x z^-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9^-1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

3) Dê o nome das propriedades em cada item e efetue as operações:
a) Perdi num jogo 40 pontos na 1ª rodada e ganhei 40 na 2ª rodada.
b) Ganhei num jogo 40 pontos na 1ª rodada e 20 pontos na 2ª rodada. Ganhei num jogo 20 pontos na 1ª rodada e 40 pontos na 2ª rodada.
c) Fiz na 1ª, 2ª e 3ª rodada de um jogo, – 40, – 30 e 100 pontos, respectivamente.

d) Fiz na 3ª, 2ª e 1ª rodada de um jogo 100, – 30 e – 40 pontos, respectivamente.

4) Dê o nome das propriedades em cada item e efetue as operações:
a) 8 . 5 = 5 . 8 =
propriedade__________
b) (8 . 2) . 5 = 8 . (2 . 5) =
propriedade__________
c) 3 . (5 + 2) = 3 . 5 + 3 . 2 =
propriedade____________
d) 3 . (5 – 2) = 3 . 5 – 3 . 2 =
propriedade___________
e) 30 . 1 =
propriedade__________
f) (100 + 20) : 2 = 100 : 2 + 20 : 2 =
propriedade _______________

Múltiplos e divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum;

1 - MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide simultaneamente a e b.
O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).
Óbvio que se tivermos o MDC de n números inteiros a₁, a₂, a₃, ... , a_n , indicaremos por
MDC (a₁, a₂, a₃, ... , a_n)

Exemplos:

1 - Determine o MDC dos inteiros 10 e 14.
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.
Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.
Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: MDC(10,14) = 2.

2 - Determine MDC (4, 10, 14, 60)
Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60
Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.
Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC (4, 10, 14, 60) = 2

Notas:

1.1 - um número inteiro positivo p  1 é denominado número primo, se e somente se os seus divisores positivos são 1 e p. Pode-se provar que o conjunto dos números primos é um conjunto infinito.

Sendo P o conjunto dos números primos, podemos escrever:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, ... }
Observa-se que 2 é o único número par que é primo.

1.2 - todo número inteiro maior do que 1, que não é primo, pode ser decomposto num produto único de fatores primos. Esta afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética - TFA.

Exemplos:
15 = 5.3
40 = 5.8 = 5.2.2.2 = 5.2³120 = 40.3 = 5.2.2.2.3 = 5.2³.3
240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.2⁴.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:
Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240	\|2
120	\|2
60	\|2
30	\|2
15	\|3
5	\|5
1	\|

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5
A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração, já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.
Teremos:

408	\|2
204	\|2
102	\|2
51	\|3
17	\|17
1	\|

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 2³.3.17

1.3 - O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números inteiros não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC (a,b).
Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.
Como já vimos acima, temos:
408 = 2.2.2.3.17 = 2³.3.17
240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5
Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:
MDC (408, 240) = 2³.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.
Portanto, MDC (408, 240) = 24.

2 - MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Definição: dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum - MMC, indicado por MMC (a,b) , como sendo o menor inteiro positivo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo:
Determine o MMC dos inteiros 10 e 14.
Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...
Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...
Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: MMC(10,14) = 70.
Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC (10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70. Observe que:
10.14 = 2.70 = 140 = MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números inteiros positivos a e b, teremos sempre que o produto desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:

MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números inteiros positivos a e b são primos entre si
(co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja MDC (a, b) = 1 e, portanto, teremos:
1.MMC(a,b) = a . b  MMC(a, b) = a . b , ou seja:

O Mínimo Múltiplo Comum de dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Exemplos:
MMC(3, 5) = 3.5 = 15
MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105.

5) Encontre o MDC, para:

1. m.d.c (16, 18 20)

R = 2

2. m.d.c (15, 20, 30)

R = 5

3. m.d.c (14, 21, 28)

R = 7

4. m.d.c (14, 28, 35)

R = 2

5. m.d.c (35, 45, 50)

R = 5

6. m.d.c (24, 30, 32)

R = 2

7. m.d.c (50, 60, 80)

R = 10

8. m.d.c (56,64,72)

R = 8

9. m.d.c (56,66,76)

R = 2

10. m.d.c (100,108,120)

R = 4

6) Encontre o MMC, para:

a) m.m.c (3, 4, 6) R:12

b) m.m.c (2, 4, 8) R:8

c) m.m.c (3, 6, 9) R:18

d) m.m.c (4, 8, 10) R: 40

e) m.m.c (6, 12, 15) R:60

f ) Dois carros partem juntos, a fim de dar voltas em torno de uma pista de corrida. O carro mais rápido demora 3 minutos para completar uma volta e o outro carro demora 5 minutos. Após quanto tempo os carros irão se encontrar novamente? R: 35

Frações ordinárias e decimais; números decimais (operações e propriedades); expressões numéricas;

7) Calcule o valor das expressões:

a) 19,6 + 3,04 + 0,076 =

b) 17 + 4,32 + 0,006 =

c) 4,85 - 2,3 =

d) 9,9 - 8,76 =

e) (0,378 - 0,06) - 0,245 =

f) 2,4 * 3,5 =

g) 4 * 1,2 * 0,75 =

h) (0,35 - 0,18 * 2) - 0,03 =

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